DESIGUALDADES E INTERVALOS
1. INTERVALOS: Son regiones comprendidas entre dos números reales.
En general, si los extremos pertenecen al intervalo, se dice que cerrado,
si por el contrario no pertenecen al intervalo, se dice que es abierto. Si
uno de extremos pertenece al conjunto y el otro no, se dice que
semiabierto o semicerrado.
CLASES DE INTERVALOS
COMO CONJUNTO TIPO DE INTERVALO REPRESENTACION
GEOMETRICA
{x / a ≤ x ≤ b} [a,b] CERRADO [ ]
a b
[
{x / a ≤ x ≤ b}
[a,b) SEMICERRADO ALA
IZQUIERDA
( ]
a b
{x / a〈x ≤ b} (a,b] SEMICERRADO A LA
DERECHA
[ )
a b
{x / a ≤ x ≤ b} (a,b) ABIERTO ( )
a b
{x / x〉a} (a, α ) (
{x / x ≥ a} [a,α ) [
{x / x〈b} (−α,b) )
b{x / x ≤ b} (α,b] ]
b
{x / x ∈ℜ} (−α,α )
Ejemplos
Dibujar los siguientes intervalos
1. [2,5) [ )
5
2. (− 6,3 ) ( )
6
3. {x ≤ 4} ]
4
4.{x 〉 − 3} (
0
R
0
2
0
-3
0
0
-35.[− 6,1 ] [ ]
6
OPERACIONES BÁSICAS ENTRE INTERVALOS
Los intervalos se operan análogamente como los conjuntos. Mediante ejemplos
analizaremos, estas operaciones como unión, intersección, diferencia y
complemento.
Sean A: [− 3,6] B: [3,9) C: (− 5,4)
Calcular
1) A ∩ B [ [ ] )
La intersección corresponde a la región común a los intervalos, es decir,
-3 0
-3 0 3 6 9A ∩ B = 6,3[ ]
2) B ∪ C ( [ ) ]
La unión corresponde a las regiones comprendidas por los dos conjuntos
(reunión), es decir BUC= (− 6,5 ].
1 ) A - B [ [ ] )
La diferencia corresponde a la región que corresponde al intervalo A que no
pertenezca a B, es decir,
A − B = [− 3,3 )
4) C-A B ( [ ) ]
La diferencia corresponde, a la región que pertenece A C y no pertenece a A,
es decir
C − A = − 5 ( ) − 3
5) B' Solución como B = [ 9,3 )
-5 0 3 4 6
-3 0 3 6 9
-5 -3 0 4 6 El conjunto de un intervalo, es lo que le falta al intervalo para llegar a los
reales.
En nuestro caso.
B = (−α,3) ∪ (9,α )
Obsérvese, cuando se busca el complemento, se debe tener en cuenta que los
extremos no sean infinitos, cambian su condición, es decir se está cerrando se
abre y viceversa.
6) C' El complemento, teniendo las observaciones del problema atender, es:
Solución: Como C = (− 5 − 4)
C '= (−α,−5]∪ [4,α )
DESIGUALDADES
1. INTRODUCCION
ORDEN DE LA RECTA NUMERICA
Decir que a〈b, significa que a está a la izquierda de b, en la recta numérica
_______________a_____________________b________________R Si a〈b ⇔ b − a〉0, es decir, que el conjunto de los números reales es un
conjunto ordenado.
PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES
Si a, b y c son números reales
1. TRICOTOMIA
Si a y b son número reales, se cumple una y solo una de las siguientes
propiedades:
a〈b o a = b o a〉b
2. TRANSITIVA
Si a〉b, y b〉c ⇒ a〉c
Ejemplo
12〉8 , y , 8〉5 ⇒ 12〉5
3. ADITIVA
Si a〉b ⇒ a + c 〉 b + c
Ejemplo
Si 9 〉 2, entonces, 9 + 5 〉 2 + 5 ⇒ 14 〉 7
4. MULTIPLICATIVA a) Si c 〉 o, se cumple que
Si a 〉 b ⇒ a.c 〉 b.c
Ejemplo: Sea 8 〉 − 2 y c = 4 ⇒ 8.4 〉 − 2.4
⇒ 32 〉 − 8
b) Si a 〉 b ⇒ a.c 〈 b.c
Ejemplo: Si − 3 〉 − 7 ⇒ (− 3) (− 5) 〈 (− 7) (− 5)
⇒15 〈 35
5. Si a〉b y c〉d ⇒ a + c 〉 b + d
Ejemplo: Si 8〉5 y 7〉4 ⇒ 8 + 7 〉 5 + 1 ⇒ 15〉9
6. Si a〉0 ⇒ − a〈0
Ejemplo: si 8〉0 ⇒ − 8〈0
7. ,0 0
2
Si a ≠ a 〉
Ejemplos
8 0 8 64 0
2
Si 〉 ⇒ = 〉
7 0 ( 7) 49 0
2
Si − 〈 ⇒ − = 〉8. 0
1
〉0 ⇒ 〉
a
Si a
Ejemplo
0
7
1
Si 7 〉 0 ⇒ 〉
9.
c
b
c
a
Si a〉b y c〉 ,0 entonces, 〉
Ejemplo
2 1
5
5
5
10
Si 10〉5 ⇒ 〉 ⇒ 〉
10.
c
b
c
a
Si a〉b y c〈o ⇒ 〈
Ejemplo:
3 2
8
16
8
24
24 16 〈 ⇒ − 〈 −
−
Si 〉 ⇒
LAS PROPIEDADES SE CUMPLEN CUANDO SE TIENEN LA RELACIÓN DE
〈 O 〉
SOLUCION DE DESIGUALDADES
Resolver una desigualdad es un proceso que consisten en transformar las
desigualdades hasta que el conjunto solución sea evidente. Las herramientas
utilizadas son las propiedades de orden ya reseñadas. Es decir, que debemos realizar ciertas operaciones en una desigualdad sin cambiar el conjunto solución,
en lo referente:
1. Se puede adicionar o aumentar el mismo número miembros de la
desigualdad.
2. Se pueden multiplicar o dividir ambos miembros de una desigualdad por
un número positivo, sin que la desigualdad cambie de sentido.
3. se pueden multiplicar ambos miembros por un número negativo, pero se
debe de cambiar el sentido de la desigualdad.
